Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
MathType 5.0 Equation
Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,
MathType 5.0 Equation
Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
MathType 5.0 Equation
Teorema de límite4:
Documento Microsoft Office Word
Teorema de límite5:
Documento Microsoft Office Word
Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
MathType 5.0 Equation
Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
MathType 5.0 Equation
Teorema de límite8:
Documento Microsoft Office Word
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation
S o l u c i o n e s
1. Solución
MathType 5.0 Equation
2. Solución:
MathType 5.0 Equation
3. Solución:
MathType 5.0 Equation
4. Solución:
MathType 5.0 Equation
5. Solución:
Documento Microsoft Office Word
6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:
Documento Microsoft Office Word
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):
MathType 5.0 Equation
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0;
por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:
MathType 5.0 Equation
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
MathType 5.0 Equation
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
Documento Microsoft Office Word
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:
MathType 5.0 Equation
12. Solución:
MathType 5.0 Equation