Valor absoluto

Publicado el 09-04-2004 . Palabras clave:

El concepto de valor absoluto o módulo se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.
Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|
Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.
Otro ejemplo. Si a = 5 y d(a, b) = 10, la ecuación |b - 5| = 10 puede leerse como b son los puntos cuya distancia al punto 5 es 10. Mirando en la recta numérica se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición son -5 y 15.
Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| < 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina entorno de centro 5 y radio 10.
Resulta claro que

tiene como conjunto solución al conjunto vacío porque no hay puntos en la recta numérica cuya distancia al origen sea menor que cero. Decir
$|x|\; \backslash ge\; 0$

es lo mismo que decir que
$x\; \backslash in\; \backslash real$

.
Dados dos puntos en
$\backslash real^2$

expresados mediante coordenadas cartesianas A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) y haciendo uso del Teorema de Pitágoras se tiene que:

$d(A,B)\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2\; +\; (y\_2-y\_1)^2\}$

En particular si B tiene como coordenadas (x,0) y A(0,0) se tiene que
$d(A,B)\; =\; |x|\; =\; \backslash sqrt\{x^2\}$

La función valor absoluto se define de la siguiente manera para los nümeros reales:

, pero no derivable en x=0 puesto que tiene un pico o punto cuspidal en dicho punto. La derivada de la función módulo es la función signo.

La inexistencia de f'(0) se refleja geométricamente en el hecho que no existe recta tangente en (0,0).

Propiedades del valor absoluto

1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 si y sólo si x = 0.
3. $\backslash left|\; x\; \backslash right|\; =\; \backslash sqrt\{x^2\}$
4. |-x| = |x| y |x - a| = |a - x|
5. |x . y| = |x| . |y|
6. |x / y| = |x| / |y| (y ≠ 0)
7. Desigualdad triangular |x + a| ≤ |x| + |a| y |x - a| ≥ |x| - |a|
8. -|x| ≤ x ≤ |x|
9. |x| ≤ a si y sólo si -a ≤ x ≤ a

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