Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

    ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  2. Binomio Diferencia al Cuadrado

    ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  3. Diferencia de Cuadrados

    ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  4. Binomio Suma al Cubo

    ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

    = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  5. Binomio Diferencia al Cubo

    ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  6. Suma de dos Cubos

    a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  7. Diferencia de Cubos

    a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  9. Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  10. Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  11. Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos :

  1. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

    Solución :


    Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

    x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

    Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2


    Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

    (x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

    (x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1

    (x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

    = 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

  2. Simplificar :

    M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

    Solución

    Ordenando los productos notables tenemos :

    ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

    * **

    Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

    ( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

    Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

    ( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

    Remplazando en la expresión inicial tenemos :

    ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

    Ordenando los factores tenemos :

    ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

    ¨

    aplicando productos notables en "¨ " :

    ( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

  3. Simplificar :


    Solución

    Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :


    Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

1)



a) El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x2
b) El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x
c) El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49
Entonces ( 5x + 7 )2 = 25x2 + 70x + 49
2)

a) El cuadrado del 1er término es (0.5x)(0.5x) = 0.25x2

b) El doble producto de ambos términos es 2(0.5x)(9)=(1x)(9) = 9x

c) El cuadrado del 2do término es (9)(9)=81

Entonces ( 0.5x + 9 )2 = 0.25x2 + 9x + 81