| Función | Derivada | Ejemplos | |
|---|---|---|---|
| Constante | |||
| y=k | y'=0 | y=8 | y'=0 |
| Identidad | |||
| y=x | y'=1 | y=x | y'=1 |
| Funciones potenciales | |||
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| Funciones exponenciales | |||
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| Funciones logarítmicas | |||
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| Funciones trigonométricas | |||
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| Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones | |||
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Objetivos Mínimos
.
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1) 
siempre que no aparezca la
indeterminación 
.
B3) 
siempre y cuando no aparezca la indeterminación 
.
B4) 
siempre y cuando no aparezcan las
indeterminaciones 
e 
.
B5) 
con 
, siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
TEOREMA: Si existe el límite, éste es único.
(Demostración inmediata).
Todo lo dicho anteriormente es también válido si
consideramos que el límite vale 
en lugar de l.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si 
o alguno (o ambos) de los límites
laterales vale 
.
Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la
izquierda o por ambos lados.
La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá
del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la
asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si 
. La asíntota puede aparecer
cuando 
La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical
se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo
cuando 
. Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función
Dada la función y = f(x), si se verifica que
. La asíntota puede aparecer cuando 
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones
indicadas.
Ejemplo.-
, podemos encontrar un entorno de a de radio 
, que depende de 
con 
.
siempre y cuando tengan sentido las
.
Ejemplo.-
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones
indicadas.
Ejemplo.-
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer
factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo.-
Ejemplo.-
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador
y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente
límite:
F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido,
que es:
Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:
En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no
podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual
que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes
aplicando la Regla de L'Hôpital.
Diremos que la función y = f(x) es continua en x
= a si:
Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos
obtener la siguiente definición equivalente:
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a
si 
.
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si 
.
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el 
. (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0
existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos 
. Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada
en un cierto entorno de x = a.
Tomemos 
. Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:
es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno 
de x=a.Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces
que:
es continua en x=a.
es continua en x=a.
es continua en x=a si 
.
es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua
en y=f(a) 
es continua en x=a.
De lo dicho anteriormente resulta que:
Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad
y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo
anterior y de las funciones definidas a trozos.
Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo
distintos los signos de dicha función en los extremos del
intervalo, es decir, 
tal que f(c)=0.
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).
Si 
el teorema está
demostrado. En caso contrario, la función tomará
en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).
Sea 
el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.
Si 
el teorema está
demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior,
obteniéndose una sucesión 
de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior
y la función toma valores opuestos en los extremos de cada
intervalo. Dicha sucesión define un número real 
. Demostremos que f(c)=0.
Supongamos que 
por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c
donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la
construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los 
, donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.
Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un
valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés)
(Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)
A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].
Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio 
y los subintervalos 
y 
f(x) no está acotada en uno
de ellos, al menos, que llamaremos 
. Dividamos en dos mitades y llamemos 
a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada.
Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada.
Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c
por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en
el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por
construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada.
Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b].
B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).
Si f(x) está acotada en [a,b] 
siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo
superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema
estará demostrado.
g(x) está acotada en [a,b] 
M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un 
f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b].
Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b]
f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el
máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la
consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.
Teoremas de límitesTeorema de límite1:
Teorema de límite2:
Teorema de límite3:
Teorema de límite4:
Teorema de límite5:
Teorema de límite6:
Teorema de límite7:
Teorema de límite8:
|
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
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Ejercicios resueltos Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
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1. Solución
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
9. Solución:
10. Solución: 
11. Solución:
12. Solución:
LÍMITESDefinición de límite
|
x
|
f (x)
|
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
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|
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
|
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
|
|
|x - 2|
|
| f (x) - 3|
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|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
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|
Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe
 Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
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Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta) En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:
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Leithold
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1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
LÍMITESDefinición de límite |
x
|
f (x)
|
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
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1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
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2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
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|
|x - 2|
|
| f (x) - 3|
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|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
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Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
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Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta) En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:
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Leithold
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1. Solución:2. Solución:3. Solución:4. Solución:CALCULO DE VOLUMENES
CALCULO DE VOLUMENES
CALCULO de SUPERFICIES
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Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos. |
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oswaldo blanquin
san jose, Venezuela
oswaldo
ver perfil »Mi nombre es Oswaldo Blanquín Briceño egresado de Universidad de Carabobo como Ingeniero Mecanico actualmente me desempeño como profesor de natemática de la UNEFA
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